Dugga 1

Lämnas in senast vid början av föreläsningen måndagen den 9 februari.

1. Vilka av följande satslogiska utsagor är tautologier?
   1. $(p \vee \neg q) \leftrightarrow (q \rightarrow p)$
   2. $((p \wedge q) \vee r) \rightarrow (p \wedge (q \vee r))$
   3. $(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow r)$
2. Ge exempel på
   1. Två mängder $A$ och $B$ sådana att $A\subseteq B$ men $A\notin B$,
   2. Två mängder $C$ och $D$ sådana att $C\nsubseteq D$ men $C\in D$,
   3. Två mängder $E$ och $F$ sådana att $E\subseteq F$ och $E\in F$.
3. Ge exempel på
   1. En surjektiv funktion från intervallet $[0,1]$ till $\mathbb{R}$,
   2. En injektiv funktion från $\mathbb{R}$ till $[0,1]$.
4. Uttryck den konvergenta summan \[1+\frac18 + \frac1{27} + \frac1{64} +\dots \] med hjälp av $\sum$-symbolen.
5. Bevisa, till exempel med induktion, att \[\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}4.\]