1. På a, b, c har många tänkt att jag menade heltal, vilket jag har godkänt eftersom jag faktiskt var ltie otydlig i uppgiften. På d, e, f har de flesta förstått vilka tal som ska ingå i mängderna, dvs vilka lösningar som finns till respektive ekvation. Däremot har det varit problem med att uttrycka de här mängderna på enklast möjliga sätt. Om en mängd har ett ändligt (och inte alltför stort) antal element, är det bara att räkna upp dem. Den mängd som har elementen 1, 2 och 17 kan till exempel skrivas $\{1,2,17\}$.
Tänk på att $x$, $n$ och $r$ är "lokala" variabler. På 1d är det till exempel inte så at $x = \{1\}$. Svaret är att mängden i fråga är lika med $\{1\}$. Men vi har inte definierat någonting som heter $x$.
2. De flesta verkar ha förstått hur detta fungerar, men förklaringarna var ganska ofullständiga. Många ger exempel på ett tal, vilket jag tycker fungerar bra som förklaring i just det här fallet.
3. Den här uppgiften, att beräkna största gemensamma delare till två tal, har gått ganska bra. En bra sak som några gör är att i slutläget kontrollera att 232 faktiskt är en delare till båda de givna talen.
4. Här har det blivit en del problem. Många ställer upp ekvationen i två variabler $x$ och $y$ som vi har sagt att man ska göra, men svarar inte riktigt på frågan. Det är ganska vanligt att man har svarat på både vad $x$ är och vad $y$ är, fast jag bara frågade efter $x$ ($y$ fanns ju inte i frågan från början). Några har svarat till exempel att $x = 50 + 19k$, vilket jag har godkänt, fast det egentligen är bättre att svara med den principala resten 12, alltså $x = 12 + 19k$.
I några fall har det varit ganska otydligt vad som är svaret mitt i alla räkningar.
5. Den här uppgiften har också gått bra. Många har inte redovisat så mycket, men det var väl heller inte meningen.
Thursday, February 18, 2016
Wednesday, February 10, 2016
Vad man bör kunna i kapitel 3 (Aritmetik)
Vi har nu tagit oss igenom kapitel 3 om aritmetik (talteori). Det kan vara dags att sammanfatta lite vad man bör kunna.
Division, kvot och rest. Detta är ju i den enklaste formen grundskolematematik; $47/11 = 4+3/11$. Här är "kvoten" 4, dvs 11 "går i" 47 4 gånger. Resten blir 3.
Delbarhet. Notationen $a | b$ betyder att $a$ delar $b$. Till exempel gäller att $14|42$ därför att $42$ kan skrivas som $14$ gånger ett heltal (3). Med andra ord $42/14$ är ett heltal.
Primtal är heltal större än 1 som inte har några andra delare än $\pm 1$ och (plus/minus) sig själva. Till exempel är 439 ett primtal därför att de enda tal som delar 439 är $\pm 1$ och $\pm 439$. Talet 440 är å andra sidan inte ett primtal, eftersom det har andra elare, till exempel 2, 5, 10 och 11. Talet $440$ kan faktoriseras som en produkt av primtal: $440 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 \cdot 11$.
Det finns oändligt många primtal, vilket bevisades av Euklides ungefär år 300 f Kr.
Enligt aritmetikens fundamentalsats kan varje positivt heltal skrivas som en produkt av primtal på (väsentligen) exakt ett sätt. Reservationen "väsentligen" syftar på att man givetvis kan skriva primfaktorerna i olika ordning, men varje primtal förekommer ett bestämt antal gånger. Om man till exempel skriver 440 som en produkt av primtal, kommer talet 2 alltid att förekomma exakt tre gånger.
Delargrafen till ett tal är ingenting man behöver plugga in för dess egen skull. Den är bara till för att underlätta förståelsen, inte skapa nya problem.
En linjärkombination av två (eller flera) tal $x$ och $y$ är (precis som i linjäralgebran) ett uttryck på formen $ax+by$, där $a$ och $b$ är heltal. Om ett tal $d$ är gemensam delare till $x$ och $y$, så kommer $d$ också att dela $ax+by$.
Euklides algoritm är en metod för att beräkna de största gemensamma delaren till två tal $x$ och $y$, vilket samtidigt är den minsta positiva linjärkombinationen av $x$ och $y$.
Den minsta gemensamma multipeln $lcm(x,y)$ av två tal $x$ och $y$ är, som namnet antyder, det minsta tal som har både $x$ och $y$ som delare. Om man har beräknat största gemensamma delaren till $x$ och $y$, dvs $gcd(x,y)$, kan den minsta gemensamma multipeln beräknas genom \[lcm(x,y) = \frac{x\cdot y}{gcd(x,y)}.\]
När man adderar bråk, förlänger man så att bråken får "minsta gemensamma nämnare". De möjliga nämnarna är ju multipler av den ursprungliga, så "minsta gemensamma nämnare" betyder egentligen minsta gemensamma multipel (av nämnarna).
Diofantiska ekvationer betyder egentligen ekvationer där man söker heltalslösningar. De ekvationer vi tittar på i den här kursen är linjära ekvationer i två variabler, dvs ekvationer av typen \[ax + by = c,\] där konstanterna $a$, $b$ och $c$ är heltal. Geometriskt är lösningsmängden en rät linje i planet, så frågan är vilka heltalspunkter en sådan linje passerar genom. Sådana ekvationer löses med Euklides algoritm.
Modulär aritmetik eller kongruensräkning handlar om att man räknar "modulo $n$", där $n$ är något positivt heltal. Man kan också säga att man enbart räknar med "rester" vid division med $n$. Om man till exempel räknar modulo 12 (klockan), så är $4$, $16$ och $-8$ samma sak. Man säger att de talen är kongruenta modulo 12, vilket skrivs \[4 \equiv 16 \equiv -8 \quad \text{(mod 12)}.\]
Systemet av restklasser modulo $n$ betecknas $\mathbb{Z}_n$.
Ekvationer av typen $ax = b$ i $\mathbb{Z}_n$ kan reduceras till diofantiska ekvationer i två variabler, och löses alltså med Euklides algoritm.
Det finns även ett avsnitt om binära tal och andra talbaser. Man bör kunna konvertera tal mellan binärt och decimalt. Exempelvis är talet $77 = 64+8 + 4 +1$, så binärt skrivs 77 som $1001101$.
Division, kvot och rest. Detta är ju i den enklaste formen grundskolematematik; $47/11 = 4+3/11$. Här är "kvoten" 4, dvs 11 "går i" 47 4 gånger. Resten blir 3.
Delbarhet. Notationen $a | b$ betyder att $a$ delar $b$. Till exempel gäller att $14|42$ därför att $42$ kan skrivas som $14$ gånger ett heltal (3). Med andra ord $42/14$ är ett heltal.
Primtal är heltal större än 1 som inte har några andra delare än $\pm 1$ och (plus/minus) sig själva. Till exempel är 439 ett primtal därför att de enda tal som delar 439 är $\pm 1$ och $\pm 439$. Talet 440 är å andra sidan inte ett primtal, eftersom det har andra elare, till exempel 2, 5, 10 och 11. Talet $440$ kan faktoriseras som en produkt av primtal: $440 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 \cdot 11$.
Det finns oändligt många primtal, vilket bevisades av Euklides ungefär år 300 f Kr.
Enligt aritmetikens fundamentalsats kan varje positivt heltal skrivas som en produkt av primtal på (väsentligen) exakt ett sätt. Reservationen "väsentligen" syftar på att man givetvis kan skriva primfaktorerna i olika ordning, men varje primtal förekommer ett bestämt antal gånger. Om man till exempel skriver 440 som en produkt av primtal, kommer talet 2 alltid att förekomma exakt tre gånger.
Delargrafen till ett tal är ingenting man behöver plugga in för dess egen skull. Den är bara till för att underlätta förståelsen, inte skapa nya problem.
En linjärkombination av två (eller flera) tal $x$ och $y$ är (precis som i linjäralgebran) ett uttryck på formen $ax+by$, där $a$ och $b$ är heltal. Om ett tal $d$ är gemensam delare till $x$ och $y$, så kommer $d$ också att dela $ax+by$.
Euklides algoritm är en metod för att beräkna de största gemensamma delaren till två tal $x$ och $y$, vilket samtidigt är den minsta positiva linjärkombinationen av $x$ och $y$.
Den minsta gemensamma multipeln $lcm(x,y)$ av två tal $x$ och $y$ är, som namnet antyder, det minsta tal som har både $x$ och $y$ som delare. Om man har beräknat största gemensamma delaren till $x$ och $y$, dvs $gcd(x,y)$, kan den minsta gemensamma multipeln beräknas genom \[lcm(x,y) = \frac{x\cdot y}{gcd(x,y)}.\]
När man adderar bråk, förlänger man så att bråken får "minsta gemensamma nämnare". De möjliga nämnarna är ju multipler av den ursprungliga, så "minsta gemensamma nämnare" betyder egentligen minsta gemensamma multipel (av nämnarna).
Diofantiska ekvationer betyder egentligen ekvationer där man söker heltalslösningar. De ekvationer vi tittar på i den här kursen är linjära ekvationer i två variabler, dvs ekvationer av typen \[ax + by = c,\] där konstanterna $a$, $b$ och $c$ är heltal. Geometriskt är lösningsmängden en rät linje i planet, så frågan är vilka heltalspunkter en sådan linje passerar genom. Sådana ekvationer löses med Euklides algoritm.
Modulär aritmetik eller kongruensräkning handlar om att man räknar "modulo $n$", där $n$ är något positivt heltal. Man kan också säga att man enbart räknar med "rester" vid division med $n$. Om man till exempel räknar modulo 12 (klockan), så är $4$, $16$ och $-8$ samma sak. Man säger att de talen är kongruenta modulo 12, vilket skrivs \[4 \equiv 16 \equiv -8 \quad \text{(mod 12)}.\]
Systemet av restklasser modulo $n$ betecknas $\mathbb{Z}_n$.
Ekvationer av typen $ax = b$ i $\mathbb{Z}_n$ kan reduceras till diofantiska ekvationer i två variabler, och löses alltså med Euklides algoritm.
Det finns även ett avsnitt om binära tal och andra talbaser. Man bör kunna konvertera tal mellan binärt och decimalt. Exempelvis är talet $77 = 64+8 + 4 +1$, så binärt skrivs 77 som $1001101$.
Tuesday, February 9, 2016
Lite om Dugga 1
Nu har vi kommit igång med kursen version 2016. Här följer några kommentarer till Hemdugga 1, efter några frågor som dök upp på måndagens övning. Duggan ska som sagt lämnas in på torsdag, vid början av föreläsningen.
På uppgift 1 a, b, c, har jag tänkt mig mängder av reella tal. Alla de här mängderna är alltså intervall. En annan sak man kan tänka på är att en mängd av till exempel typen $\{x : x=17\}$ enklare kan skrivas $\{17\}$.
På uppgift 2 är det inte absolut ristat i sten vilket svar som är det rätta, men meningen är att ni ska fundera på hur detta kan fungera, vad det har att göra med binär representation av tal, samt hur Nisse gör rent praktiskt för att på en sekund räkna ut vilket tal kompisen tänkte på. Om ni inte förstår vad jag är ute efter, är ett tips att skriva upp den binära representationen av talen 1 till 31, eller förresten, 0 till 31, med 5 bitar. Alltså börja med 0 = 00000, 1 = 00001, 2 = 00010, 3 = 00011 osv, upp till 31 = 11111.
Sedan kan man fundera på hur detta har att göra med de tal som står på respektive lapp.
På uppgift 4, tänk på att man inte alltid bara kan dividera ekvationen med 2. När det gäller hur man svarar, så är det ju så att $\mathbb{Z}_n$ består av de $n$ olika kongruensklasserna modulo $n$. I princip är alltså frågan vilka av dessa ändligt många kongruensklasser som löser ekvationen.
På uppgift 5a behöver förstås inget särskilt redovisas. Om ni inte har en tärning till hands kan jag tipsa om (1) google bildsök och (2) att tal som summerar till 7 står på motsatta sidor.
På uppgift 1 a, b, c, har jag tänkt mig mängder av reella tal. Alla de här mängderna är alltså intervall. En annan sak man kan tänka på är att en mängd av till exempel typen $\{x : x=17\}$ enklare kan skrivas $\{17\}$.
På uppgift 2 är det inte absolut ristat i sten vilket svar som är det rätta, men meningen är att ni ska fundera på hur detta kan fungera, vad det har att göra med binär representation av tal, samt hur Nisse gör rent praktiskt för att på en sekund räkna ut vilket tal kompisen tänkte på. Om ni inte förstår vad jag är ute efter, är ett tips att skriva upp den binära representationen av talen 1 till 31, eller förresten, 0 till 31, med 5 bitar. Alltså börja med 0 = 00000, 1 = 00001, 2 = 00010, 3 = 00011 osv, upp till 31 = 11111.
Sedan kan man fundera på hur detta har att göra med de tal som står på respektive lapp.
På uppgift 4, tänk på att man inte alltid bara kan dividera ekvationen med 2. När det gäller hur man svarar, så är det ju så att $\mathbb{Z}_n$ består av de $n$ olika kongruensklasserna modulo $n$. I princip är alltså frågan vilka av dessa ändligt många kongruensklasser som löser ekvationen.
På uppgift 5a behöver förstås inget särskilt redovisas. Om ni inte har en tärning till hands kan jag tipsa om (1) google bildsök och (2) att tal som summerar till 7 står på motsatta sidor.
Subscribe to:
Posts (Atom)